高中数学学科本质的分析

在上一轮的课程标准当中课程实施的过程当中一直非常强调抓住数学本质，那这次有一条基本理念也是把握数学本质，所以这个怎么样来把握数学本质呢？

数学教学提出这样一个问题是数学教学的一个非常大的进步，在我们学习数学的过程中常常需要抓住本质，借用一下我们国家著名的数学家华罗庚先生经常跟我们说的学习数学的一个基本的方式。他是这么表述的，就是我们能把书读厚了，我们又要能把书读薄了，那么能把书读厚了就是我们每学到一个知识我们都可以把与这个知识有联系的、学过的东西做一个联想。我们都可以去思考我们这样一个知识还和哪些东西能建立起联系。那么我们这样的思考就把我们学习的散乱的知识能有一个系统的、有逻辑的一个分析，那么我们学的内容就厚了。那么华先生说的第二句话又要能把书读薄了，所谓读薄了就是把最本质的东西抓住，就是说我们数学学了这么多东西但是某些东西是最主要的，那么这样一个学习的方式我觉得是很重要的，这是我引用华先生的一个说法。第二个，我们老师在教学中无论是一节课的教学以及现在所倡导的主题教学、项目教学、任务教学或者单元教学，就是一批数学内容围绕着一个主题学习这些内容。那么在这些学习中我们都有一个很重要的环节叫做重点分析，那么到底我教的这一节、教的这一系列内容它的重点在哪？换一句话说也就是问它最主要的东西在哪。

一 、函数本质

下面就通过一些例子跟老师做一个交流。比如说拿函数来说，我们就说函数最重要的事情是什么呢？我们知道函数是刻画变化最重要、最基本的数学模型，当然它也是解决有关变化问题最重要的数学工具。那我们就要围绕着这样一个东西来思考在函数中什么是最重要的。比如说我们在函数中要掌握一个函数就要揭示这个函数的性质，那么这个函数的性质就包括这个函数的定义、值域、单调性、周期性、对称性、极值、最值等等，这么多的性质我们在第一阶段的学习中我们说这么多的性质有没有最重要的呢？有没有反映本质的东西呢？我们希望老师能思考，能这样来思考。我们建议老师抓住单调性，因为单调性它的刻画是这样的。随着X的增加在一定程度上要描述函数Y的变化规律，随着X增加在这个阶段里Y是随着X增长而增长，进而随着X增长而减少，又随着X增长而增长，它就把一个函数的变化基本上刻画清楚了。我们换一个角度来说，函数图象，根据函数的定义在定义域中每一个点和X轴做垂线只能和函数有唯一的交点，那么我们的图象都是这样的，就是说函数的变化用几何的语言来刻画就是函数的形状，函数图象的形状，所以我们的单调性也能基本的把函数的最主要的形状刻画出来。就是知道了单调性在哪个区间再往哪个区间减，那我就知道了这个函数的大致的。图形大致的形状。也可以知道在什么只有去极值。就是其他就变成顺理成章的东西了。所以单调性是在我们必修阶段是贯穿始终的一个东西，在函数内容中。一个是反映了函数的变化，一个是贯穿始终，这是我们认为单调性反映了函数本质是抓住了研究函数重点的一个依据。下面我们再具体来分。因为我们在高中甚至在大学讨论的最主要的函数都是好的函数，都是连续的、可导的或者光滑的函数，对于这类函数极值点反映的就是在这一点的左边函数是单调上升的，右边是单调下降的，那么这一点一定是极大值点，所以一定程度上对极值的认识就是对单调性认识的一个延伸。

我们再举一个例子，反函数。反函数存在就意味着函数的自变量和它的因变量之间能建立起一一对应。在我们研究都是好函数的前提下一一对应，用单调性的语言来刻画就是严格单调，要么严格单调上升，要么严格单调下降，这样的都是可以建立一一对应的。当然我们注意我们的前提是我们都是好函数，所以单调性和我们学习的其他函数性质有机地结合起来了。

我们再换一个角度，我们知道单调性是用不等和相等关系来刻画的，对于任意的X1<X2，FX1如果也<FX2我们就说是单调上升的。所以研究单调性换一个角度就是研究不等关系和相等关系，以及不等关系、相等关系的差异。经过我们上面的分析函数是反映变化的最重要的概念，函数、单调性是贯穿函数教学始终的东西，函数的单调性能够帮助我们建立起和其他数学知识的联系，我想我们没有理由不承认函数单调性在我们必修研究函数的过程中是反映本质的东西。那么到了选择性必修阶段我们就不仅反映就有一个继续的发展了，那就是导数。所以在我们函数的学习中抓住单调性、抓住导数也就意味着我们能抓住反映函数变化最重要的东西。我们老师常常说那别的就不重要吗？不是，我们重要是相对的。在研究三角函数中我们周期性就变得重要了，当然单调性仍然是重要的，但是周期就变成一个最有利的辅助的特点，所以学会抓住数学最重要的东西就是帮助我们去抓住这个本质。

二、几何本质

我们再举一个例子，在几何的学习中我们学习两类图形，一类图形是直线型，直线、平面将来是超平面，我们要学习不同平面的关系，我们要学习由平面所组成的多面体，那么我们要问在我们学习的所有多面体里我们要解决的问题中会出现各种各样的不同的多面体，不同的直线型，那么最重要的是谁？同样可以像单调性一样来思考这个问题。我们说作为第一个理由，什么样的图形是贯穿我们学习几何的自始至终的一个基本图形？我们建议或者我们认为长方体。因为时间关系我们不展开，我只想提供大家一个依据，长方体在一定程度上反映的是我们的空间直角坐标系。所以无论是解析几何、无论是向量集合还是立体几何都需要这么一个参照物来帮助我们揭示图形的特点。所以这一件事建议我们老师去思考。

三、代数本质

我们再举一个代数的例子。向量是我们高中要学习的一个新的而且是最重要的运算对象，在我们中小学阶段或者是在我们中小学和大学基础课阶段最重要的运算对象我觉得第一是数，第二是多项式，就是可以替代数的字母通过运算组成的多项式，第三就是向量。所以向量在数学中是非常重要的一个，我曾经多次说过，向量进入中学是中学数学课程的一个重大变化，这样的变化没有几个。那么我们学习向量中我们也要问，什么反映了本质？什么是我们需要抓住的最重要的东西？我建议我们老师思考或者说我们的观点是向量基本定理。向量基本定理在高中阶段有三种不同形式的描述，一个是一维的向量基本定理，对于任意一个非零向量，给定一个非零向量那么我们就有下面的结论，任意一个与之贡献的向量或者与之平行的向量都可以用这个向量线性表示或者我们都可以表示成这个向量的十数倍，而且是（00：17：19）。二维的是这么叙述的，给定两个不贡献的向量有对于任意一个和它们共面的向量它可以唯一的表示这两个向量的线性组合，并且这个表示是唯一的。并且这个说法是（00：17：50）。空间就是三个不共面的向量，空间向量，那么对于任何一个空间向量都可以用这三个向量的唯一的线性组合表示出来。我们说为什么这个定理这么重要呢？设备我们知道向量的运算在高中阶段最重要的运算是向量的和，加法、减法、竖乘、点乘三种，向量给我们提供了丰富的运算。那我们向量基本定理和运算的关系是什么呢？不严格地说是一个逆运算的关系。大家想一想，有竖乘运算，，有和的运算和竖乘的运算。那么点乘运算呢？我们说向量基本定理最特殊的情况是我们所谓标准正交极，在标准正交极以下我们唯一的分解是点乘出来的，是在每一个坐标向量上的投影，而投影是点乘的特例。所以你看，我们向量基本定理把我们学的运算整合起来了。

下面我们说向量的应用。向量的应用过程中一个最基本、最重要的方法就是通过向量的运算解决问题。包括通过向量的坐标运算解决问题。而向量基本定理起到了一个关键的桥梁作用，所以我想在我们时间的关系我们就不展开，我们希望我们老师在我们教学的过程中、在我们教学设计的过程中都需要思考这样一个基本的问题，就是我们要教的重点在哪，我们要教的这些数学的本质在哪。抓住这个对于学生发展学生的数学核心素养我个人觉得是至关重要的。所以我们希望和老师一起不断地思考在我们教学过程中什么是反映我们数学本质的东西。